Вывод уравнения плоскости при разных способах ее задания.

■ Уравнение плоскости, проходящей через три заданных точки , и , не лежащие на одной прямой.

(15)

Чтобы получить общее уравнение плоскости , нужно символьно вычислить этот определитель, например, разложив его по первой строке.

Пример16. Даны вершины тетраэдра: , , и . Найти уравнение грани .

В(-4;1;0)
А(3;-1;1)
С(2;2;0)
D(-1;0;5)
Решение. Замечу, что эту задачу можно решать «вслепую», без чертежа. Но для лучшего понимания методов решения, чертеж (хотя бы схематический) лучше все-таки нарисовать.

Обозначим - произвольная точка плоскости, в которой лежит основание .

Þ

Þ Þ

Þ .

Окончательно .

■ Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

(16)

Пример17. Даны вершины тетраэдра: , , и . Найти уравнение плоскости, проходящей через вершину перпендикулярно ребру .


Решение. Искомая плоскость изображена на Рис 13. Так как по условию плоскость перпендикулярна боковому ребру , то вектор перпендикулярен плоскости треугольника . Точка .

Тогда Þ
Þ .

Пример 18. Известно, что точки: и симметричны относительно некоторой плоскости . Найти уравнение этой плоскости.

B
Решение. Искомая плоскость изображена на Рис.14.
Поскольку по условию точки и симметричны относительно плоскости , то они лежат на перпендикуляре к этой плоскости, проходящем через и . Так как и равноудалены от плоскости , то эта плоскость проходит через середину отрезка - точку . Нарисуем вектор и введем его аналитически . Вычислим координаты точки : . По формуле (16 ) построим уравнение искомой плоскости

Þ

/ поделим на (- 4) / Þ
Þ .

■ Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум непараллельным векторам и .

(17)

Замечание. Решение многих задач на составление уравнения плоскости на практике сводится к поиску трех компланарных векторов. Их смешанное произведение, как известно, равно нулю. В координатах смешанное произведение вычисляется с помощью определителя 3-го порядка, строки которого и есть координаты этих трех векторов. Именно в этом и заключается смысл формул (15) и (17 ).

Пример 19. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам и .

Решение. Прежде всего заметим, что векторы и не параллельны, так как их координаты не пропорциональны (Рис.15). Далее, обозначим - произвольная точка искомой плоскости. Нарисуем вектор и введем его аналитически . По условию искомая плоскость параллельна векторам и или, что то же самое, векторы и параллельны искомой плоскости . Это в свою очередь означает, что параллельным переносом векторы и можно переместить в плоскость вектора . Следовательно все три вектора , и компланарны и их смешанное произведение , что в координатах дает уравнение



Þ Þ

или .

■ Уравнение плоскости, проходящей через две заданных точки , параллельно заданному вектору

(18)

Пример 20. Известно, что пространственная прямая , проходящая через точку , пересекает плоскость в точке . Найти уравнение плоскости , проектирующей прямую на данную плоскость (Рис. 16).

Решение. Две точки, через которые проходит искомая плоскость , уже имеются - это точки и . По этим точкам можно ввести вектор , заведомо лежащий в искомой плоскости . Далее, как всегда, введем точку - произвольную точку искомой плоскости. По ней и по точке, например, введем еще один вектор, также лежащий в искомой плоскости, а именно . Осталось найти вектор, которому плоскость параллельна или, что то же самое, который параллелен этой плоскости. Таковым является вектор - нормальный вектор данной плоскости . Введенные три вектора компланарны, а значит их смешанное произведение , что в координатах дает уравнение:

Þ .


1746215315858053.html
1746266809871604.html
    PR.RU™